Makalah Gerak Benda Tegar

GERAK BENDA TEGAR YANG TERDIRI DARI DUA LAPISAN TIPIS YANG SIMETRIS PADA BIDANG HORIZONTAL

Mikhail O. Itskovich    Alexander S. Kuleshov

kuleshov@mech.math.msu.su

abstrak

Masalah pergerakan benda tegar yang terdiri dari dua lapisan tipis yang simetri dengan simetri bidang pada sudut yang tepat sedang diselidiki. Semua kesetimbangan benda pada bidang ditemukan dan analisis mengenai stabilitasnya juga akan dilakukan.

1.      Pendahuluan

Mari kita perhatikan sebuah benda tegar berdasarkan bentuk berikut : benda tegar tersebut terdiri dari 2 lapisan tipis yang simetri bidangnya membentuk sudut yang tepat satu sama lain. Lapisan tipis terhubung sepanjang sumbu simetrisnya. Ketika benda ini bergerak sepanjang bidang horizontal benda tersebut tetap menyentuh bidang pada dua titik (gambar 1)

Gambar 1. Dua lingkaran roller dan oloid

Benda yang paling dikenal seperti bentuk dua lingkaran roller |1, 2| dan oloid |3, 4|. Dua lingkaran roller terdiri dari 2 lingkaran yang saling bertautan tapi jarak Antara titik tengahnya adalah r   dimana r adalah jari jari dari lingkaran. Oloid hampir sama dengan 2 lingkaran roller, yaitu terdiri dari 2 lingkaran yang saling bertautan tapi jarak Antara titik tengahnya adalah r. untuk kedua benda ini, gerakannya pada bidang tetap telah dipelajari secara mendalam |1|-|4|. Bagaimanapun, hal tersebut menarik untuk diselidiki, yaitu mengenai gerak benda tegar yang memiliki bentuk seperti 2 lingkaran roller dan oloid.

Teori yang ada memungkinkan untuk menyelidiki gerak benda tegar ketika benda terdiri dari 2 lapisan tipis yang acak. Menggunkan teori gerak benda tegar yang terdiri dari 2 peiringan elips telah diselidiki

Dalam paper ini akan dijelaskan mengenai kondisi dan kesetimbangan stabilitas dari benda yang terdiri dari 2 lapisan tipis yang berbentuk acak-acakan. Kebenaran kondisi yang diperoleh diverifikasi untuk suatu kasus tertentu - misalnya dalam kasus gerak benda tegar yang terdiri dari dua piringan elips yang simetris pada bidang horizontal |5|

2.      Rumusan masalah

Sebuah benda tegar terdiri dari 2 lpisan tipis yng simetris bergerak sepanjang bidang horizontal. Simetri bidang lapisan tipismembentuk sudut yang tepat satu sama lain. Anggaplah jarak Antara pusat massa dari lapisan tipis adalah C₁ dan C₂ sama dengan 2Δ dan pusat massa dari benda tegar adalah G yang berada ditengah C₁C₂: GC₁=GC₂= Δ. Berdasarkan  pada teori yang telah disiskusikan sebelumnya |4,5| mari kita perkenalkan gerakan bingkai koordinat G_x1x2x3. Bingkai asli akan berada pada bagian tengah dari gerakan benda G. Sumbu G_x3 berada pada lapisan tipis kedua dan sumbu G_x2 mengarah sepanjang sumbu simentri lapisan tipis (gambar 2). Vector dari system koordinat ini adalah e₁, e₂ dan e₃.

Gambar 2. Benda tegar yang terdiri dari dua lapisan tipis yang simetris

Annggaplah A dan B  merupakan 2 titik kontak benda dengan bidang. Kita akan mendefinisikan posisi titik A dari sudut θ Antara arah negative sumbu G_x2 dan arah C₁A dari pusat massa C₁ pada lapisan tipis pertama ke titik kontak A (Gambar 2). Kita harus mengasumsikan bahwa bentuk lapisan tipis telah didefinisikan  oleh sudut ψ antara arah positif sumbu G_x2 dan arah C₂B dari bagian tengah C₂ dari lapisan tipis kedua ke titik kontak B (gambar 2). Bentuk dari lapisan tipis kedua didefinisikan oleh fungsi C₂B=r(ψ)  Selama lapisan tipis memiliki bentuk yang sama, maka dapat diasumsikan bahwa jarak C₁A dan C₂B didefinisikan oleh fungsi yng sama yang bergantung pada variable yang berbeda C₁A=r(θ) dan C₂B=r(ψ). Maka jangkauan dari vector pada titik A dapat dituliskan sebagai :

Dan jangkauan vector dari titik B sebagai berikut :

Selama system yang dianggap hanya memiliki satu derajat kebebasan variable θ dan ψ yng tidak berpengaruh. Mari kit temukan hubungan Antara θ dan ψ. Ketika benda tegar berguling pada bidang horizontal memiliki 3 vektor yang selalu ada pada bidang ini yaitu   dan . kita dapat menuliskannya kedalam bentuk seperti dibawah ini

Dimana <..,..,..> merupakan 3 hasil scalar dari vector ini. Dari kondisi ini kita menemukan rumus simetrikal yang menghubungkan θ dan ψ.

Dengan menganalisis persamaan 1 maka memungkinkan untuk membuktikan pernyataan berikut

Pernyataan 1. Variabel θ dan ψ tidak bisa dihilangkan secara bersamaan

Pembuktian. Benar jika θ = ψ maka persamaan 1 akan menjadi

Dapat disimpulkan bahwa persamaan 1 tidak valid jika θ= ψ=0

3.      Energy Potensial Benda. Kesetimbangan Benda

Sekarang mari kita mencari persamaan pada bidang dalam system koordinat G_x1x2x3. Persamaan ini dapat diperoleh dari kondisi bahwa titik A,B dan vector tangensial ke lapisan pertama pada titik A selalu pada bidang yang sama. Maka dari itu persamaannya dapat dibuat kedalam bentuk sebagi berikut :

Vector unit merupakan vector normal ada bidang ini

Dengan vector  dan vector normal n pada bidang tetap, maka kita dapat memperoleh energy potensial dari benda tegar yng terdiri dari 2 lapisan tipis yang simetris.

Dimana M adalah massa dari benda yang bergerak, g adalah percepatan gravitasi bumi. Dalam bentuk eksplisit, maka bentuk dari rumus energy potensial dapat dituliskan sebagai berikut:

Titik kritis dari energy potensial bergantung pada kesetimbangan benda. Hal tersebut ditentukan dari persamaan berikut :

Dengan menganalisis persamaan 2 maka memungkinkan untuk mengeluarkan pernyataan yang menyangkut kesetimbangan benda pada sebuah bidang

Pernyataan 2. Sebuah benda tegar memiliki kesetimbangan

ψ = θ

ketika θ memenuhi kondisi

                                                   (3)

Pembuktian. Sangat mudah ketika melihat kondisi (2) valid ketika θ = ψ . bagaimanapun kesetimbangan θ = ψ ada untuk semua nilai θ yang memenuhi kondisi tersebut. Jika kita mensubtitusi ψ = θ pada kondisi (1) maka akan menjadi kondisi (3). Dengan kata lain kesetimbangan θ = ψ ada untuk semua nilai θ yang memenuhi kondisi (3).

Pernyataan 3. Kesetimbangan θ=0 ada jika dan hanya jika θ =0 pada titik ekstreme dari fungsi r(θ)

Pembuktian. Benar bahwa jika subtitusi nilai θ = 0 pada persamaan (2) akan menghasilkan persamaan berikut:

Kita akan mengasumsikan bahwa fungsi r(θ) merupakan fungsi ganjil dan meiliki nilai minimum pada θ = 0.

Pernyataan 4. Jika r(θ) merupakan fungsi ganjil dan θ memenuhi kondisi (3) maka system akan memiliki kesetimbangan ψ = -θ dengan syarat kesetimbangan ψ = θ

Pembuktian. Benar bahwa jika r(θ) adalah fungsi ganjil maka  adalah fungsi genap dan  berlawanan dengan fungsi ganjil. Maka semua fungsi pada persamaan (1) merupakan fungsi ganjil dan persamaan (1) tidak berubah jika kita mengubah θ menjadi –θ. Hampir sama dengn persamaan 2 juga tidak berubah jika kita mengubah nilai θ menjadi –θ. Inilah bukti dari pernyataan tersebut.

4.      Stabilitas Kesetimbangan

Stabilitas dari kesetimbangan benda tegar dalam sebuah bidang ditentukan dengan menandai energy potensial V yang dihitung pada keadaan setimbang. Maka diperoleh hasilnya sebagai berikut

Pernyataan 5. Kesetimbangan stabil ketika ψ =θ

Dimana K adalah batas dari lapisan tipis yang mempengaruhi kesetimbangan

Kemudian kita dapat menyimpulkan bahwa kesetimbangan ψ =θ stabil dengan nilai Δ yang kecil, ketika pusat massa dari lapisan tipis saling berdekatan satu sama lain.

Sekarang mari kita temukan kondisi stabilitas kesetimbangan θ=0. Catatan bahwa ψ =ψ₀ jika θ=0 dan ψ₀ ditentukan dari persamaan berikut

Kita dapat menentukan  dari persamaan ini dan menggunakannya untuk menghitung energy potensial kedua pada θ=0. Sebagai hasilnya maka diperoleh bukti dari pernyataan ini

Pernyataan 6. Kesetimbangan θ=0 stabil dibawa kondisi berikut :

dimana

merupakan batas kurva dari lapisan tipis pada θ=0

Kondisi (4) memiliki bentuk polynomial dari kedua derajat dengan nilai Δ. Selama  bertambah dengan cepat dari pada Δ kita dapat menyimpulkan bahwa kesetimbangan θ=0 akan stabil untuk nilai Δ yang besar.

Hasil yang diperoleh pada stabilitas kesetimbangan dari benda tegar pada bidang telah berhasil di verifikasi pada kasus benda tegar yang terdiri dari 2 piringan dan 2 piringan elips.

Referensi

[1]   Stewart A.T. (1966) Two circle roller. American Journal of Physics, 34 (2): 166 — 167.

[2]   Ira H. (2011) The Development of the Two Circle Roller in a Numerical Way.

http://ilabo.bufsiz.jp/Development/2c-english.pdf

[3]   Dirnb¨ok H., Stachel H. (1997) The Development of the Oloid. J. Geometry Graphics 1:105-118.

[4]   Kuleshov A.S., Hubbard M., Peterson D.L., Gede G. (2011) On the motion of the Oloid toy. Proceedings of XXXIX International Summer School-Conference APM 2011. Saint-Petersburg: IPME. 275–282.

[5]   Itskovich M.O., Kuleshov A.S. (2012) Motion of the rigid body consisting of two

disks. Proceedings of XL International Summer School-Conference APM 2012. SaintPetersburg: IPME. 163–169.